直角三角形的性质（1）说课   蔡庆

一、    教材分析

直角三角形的性质是初二年级上半学期第19章第8节的内容，共分为3个课时，一为直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半两个性质定理；二为直角三角形30度所对的边等于斜边的一半及其逆定理，三为综合训练。本堂课为第一课时的内容。在此之前学生已经学习过一般三角形的相关性质如内角和性质、外角性质、三边关系以及特殊三角形如等腰三角形和等边三角形的性质和判定，以及三角形全等等足够的知识基础。本课为研究特殊三角形——直角三角形的入门，是以后综合图形证明的一个基础。

二、    学生分析

总体来说，绝大多数学生处于中等偏下水平，对几何证明的学习或多或少有些心里障碍，尤其是证题思路的形成，但是仍处于对于新事物好奇的阶段，所以可以通过老师课堂上得有效引导和阶梯是铺垫提示让学生学有所成。

三、    教学目标

1、掌握直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半这两个性质定理，并能初步运用其解决简单的几何问题；

2、经历定理推导过程，体会实验—猜想—论证的完整过程。

3、通过探究直角三角形的性质，培养学生的学习兴趣和严谨的学习态度。

四、    教学难点、重点

1、经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的推导过程

2、直角三角形两个性质定理的简单运用

五、    教学设计过程

（一）性质1的引入和训练

1、   利用2分钟预备铃学生朗读自己整理的已经学过的有关三角形的知识点；

2、   开门见山，提问直角三角形两个锐角的关系，得出性质1：直角三角形两个锐角互余；重点强调几何书写，让学生了解在证明书写时如何规范应用这个性质

3、   性质1的应用，由易入难进行训练，准备习题如下：

   1、在直角三角形中，有一个锐角为48⁰，那么另一个锐角度数为       

2、等腰直角三角形的一个锐角等于__________

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，CD是斜边AB上的高，

 那么 图中有几个直角三角形？有几组角互余？有哪些角相等？

C

A

B

D

 

 

 

第1小题是最简单的应用；

第2小题为后面性质2的推导过程中特殊的直角三角形——等腰直角三角形中斜边上得中线等于斜边的一半打个小基础，而且这也是一个常识知识。在两题的训练中，帮助学生熟悉性质1；

第3小题是课本上得例题，通过他训练学生的思维和规范书写，同时对这个常规的母子三角形进一步加深印象

（二）性质2的探索和简单应用

    

 

 

首先从等腰直角三角形这一特殊的直角三角形入手，学生容易获得斜边上的中线等于斜边的一半的结论，考虑到班级的部分学生基础并不是很好，所以这里设计了个问题——图中有几个等腰三角形？启发学生得出结论。然后通过提问是否在一半直角三角形中也能获得这个结论，引发学生的思考。然后鼓励学生动手测量实验获得猜想在组织学生讨论引导他们用演绎证明的方法严谨的推导出直角三角形的性质2。这部分的证明是整堂课的难点，需要老师的有效引导和启发，最后性质的得出也让学生感受到从特殊到一般思想方法和实验—猜想—论证的完整定理推导过程。同时通过证明的过程进一步学习添加辅助线的技巧，学会用运动的眼光来看待几何证明问题，如果时间来得及想介绍下同一法的证明方法，为一部分好的学生开阔一下思路。

      归纳出定理2后同样给出几何规范书写，强调使用条件有2个，一是直角三角形二是斜边的中线。

      然后准备由易到难的习题练习如下：

（1）在直角三角形中，斜边长6，那么该三角形的斜边上的中线长为________．

     在直角三角形中，斜边上的中线为6，那么该三角形的斜边长为_________

（2）直角三角形斜边上得中线和高分别是8和5，则这个三角形的面积是_______

（3）在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．

(变式：在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，若∠A=30°，那么与CE相等的线段有_______________)

第1题是基础训练；

第2题进一步提高思维，知道三角形面积需要知道一边和这边上得高，高已知就需要确定这一边的长，再通过直角三角形斜边上的中线这个条件获得这一边的长从而解决问题，培养学生从题目中分析出有用的信息；

第3题不难，但是没有图形，需要学生自己根据题意画出草图，在几何学习过程中图是最重要的环节之一，而我们的学生对于没有图的题需要自己画图的题存在不小的问题，所以利用这个题训练他们的正确画图能力。

变式把一个锐角改成30度，也是为了下一节中直角三角形中30°的角所对的边和斜边之间数量关系讨论做一个铺垫，起到承上启下的作用。

（三）巩固提高训练

这里通过2个习题进行对于定理2的应用训练，同时关注书写的规范

D

C

A

B

E

F

1、【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC上的中点，

且DE=DF.求证：AB=AC

 

 

 

 

 

2、已知：如图，BF、CE分别是△ABC的高，N、D分别是EF、BC的中点，分别联接ED、FD 。求证（1）ED=FD  （2）DN EF

第二题的原题中没有2个小问题，而是直接提问DN EF，这里可根据学生实际的情况考虑是否给出第一小问题作为铺垫。在引导学生进行证明的过程中帮助学生去找题中得已知条件，看有没有直角或垂直的条件，有没有中点的条件，再结合看是不是存在直角三角形斜边上得中线情况。尤其是当图形复杂时要耐得下心来寻找关键的条件。

（四）课堂小结

     让学生说说自己这堂课的收获，学生可能对2个定理影响深刻，老师要从分析方法上提点学生注意辅助线的添加方法和图形中找有用的条件的方法

（五）作业布置

     不把练习册直接拿来用，而是根据学生的情况进行增减的作业布置，让一般的学生牢牢掌握基础，让好的学生思维获得进一步提高，分层作业的设置尽量考虑所有学生。

（六）作业指导

对于回家作业进行有针对性的简要分析、训练思维，帮助学生加强分析题得能力，同时帮助部分基础比较弱得同学理清思路

附：

19.8（1）作业单

一、任务单上未完成的作业完成

二、练习册上部分习题

1、在直角三角形中，有一个锐角为38⁰，那么另一个锐角度数为        

2、在Rt△ABC中，∠C=90⁰，∠A-∠B =30⁰，那么∠A=       ，∠B=      

3、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC的中点，DE=2cm，∠BCD=20°，那么AC=_______cm, ∠A=_______°

 

 

4、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________

 

 

 

5、已知：如图，在△ABC中，∠B= ∠A，CD⊥BC，CE是边BD上的中线

   求证：AC= BD

 

 

 

6、已知：如图，AD、BE相交于点C，AB=AC，EC=ED，M、F、G分别是AE、BC、CD的中点。

求证：（1）AE=2MF

（2）MF=MG

7、已知Rt△ABC和Rt△ADC有公共的斜边AC，点M是AC的中点，点N是BD的中点，求证直线MN垂直平分线段BD

 

 

 

 

【说明】1、2、4题是两个性质定理的基础训练，第3题结合图形，考察学生对于图形的简单分析能力，利用已知条件和掌握的知识技巧解题。

第5题通过证明线段的倍分问题，培养学生“倒推”的分析能力，通过角的转化，等角对等边等知识的综合运用，同时考察学生对上课复习的如何证明线段倍分关系的方法进行考察。

第6题乍一看图形比较复杂，其实只需要需找到图形中得2个直角三角形即可解决问题，这里需要运用到等腰三角形的三线合一性质的运用，难点在于克服图形复杂造成的无力感，这是很多学生的一个通病，看到图形复杂就先一步在心里上给自己设置障碍，通过此题鼓励学生细心的分析题，用已知条件创造中间结论并结合图形解决问题。

第7题其实是课堂上巩固提高训练部分中第2题的变式，只需要添加2条辅助线就和那一题一样了，考察学生是不是能看透图形的本质已经相关问题的迁移以及辅助线的添加技巧。

三、选作作业：书上课后第4题、练习册最后一题

这是需要添加辅助线，构造出直角三角形斜边上得中线从而利用新学的知识解决的问题，作为选做题一是之前的作业量对大部分同学而言足够了，但是对个别好的学生还是学有余的，无论是时间上还是在思维训练上，这两道题讲会的后面的课堂上老师做引导再作为全班的作业，这里可以让一些学生先自行完成，最好在后面的课堂上由此部分学生来点播其他的同学。